一、前言
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】螺杆式nianxiangyuan
由于其可靠性高、结构简单方便维护保养等突出优点，被广泛应用于制冷空调、气动工具、工艺化工等国民生产的各个领域。一对相互啮合的阴阳转子作为螺杆式nianxiangyuan
的核心部件，对nianxiangyuan
的安全运转和工作性能起着决定性作用。型线设计技术的不断进步是推动螺杆式nianxiangyuan
迅速占领市场主流的根本原因。因而型线设计也一直是国内外研究的热点和重点，得益于对啮合理论的深入研究以及计算科学的飞速发展，各种新型型线被接踵推出。
二、转子型线设计方法
2.1 转子坐标系及坐标变换法则
如图1所示，阴阳转子的静坐标系X2OY2、X1OY1固结于机壳转子孔中心位置，称为机架坐标系；阴阳转子的动坐标系x2Oy2、x1Oy1固结于阴阳转子中心，并随转子一起绕转子轴线转动。定义阳转子顺时针为正向，阴转子逆时针为正向。
螺杆式nianxiangyuan
的啮合属于平行轴定传动比啮合，如图1，位于阳转子上的曲线1在位置与阴转子齿上的曲线2相啮合。通常，型线设计的任务是在曲线1（或曲线2）已知的情况下求取曲线2（或曲线1），这一过程即坐标变换过程。
在图1所示的坐系下，由阴转子动坐标(x2,y2)向阳转子动坐标(x1,y1)的坐标变换为：
由阳转子动坐标向阴转子动坐标的坐标变换关系表示为：
同理，动坐标与静坐标、静坐标与静坐标间的变换关系为：
2.2解析包络法
若已知型线的参数方程表示为，其中t为型线参数，当t取一定值则表示曲线上的一固定点，即指出了曲线上具体何点发生啮合；在运用式2-1或式2-2进行坐标变换时包含未知转角参数，的物理意义是指出了曲线在何位置发生啮合，也叫位置参数，因而由（t, ）两个参数便可具体指出已知曲线上何点何时在何位置发生啮合，型线啮合的问题关键也转化为如何建立起t和 之间的一一映射关系。
如图1所示，曲线1、2互相包络，根据包络原理，在公切点存在公切线和公法线，则在公切点处建立曲线关于的偏微分方程和关于t/的全微分方程。由于是公切点，两方程必然相等，从而建立起了t和的关系表达式，见式2-5和式2-6。具体推导在文献1中有详细介绍，对其过程本文不再赘述。
式2-5和式2-6可采用隐函数表示，称其为共轭曲线的包络补充条件：
将此隐函数表达式1与坐标变换式2-1或式2-2联立即可求出已知型线的包络线方程。
2.3齿廓法线法
齿廓啮合Wills定理是齿廓法线法的理论依据，其完整表述为：共轭齿廓在传动的任意瞬时，它们在接触点处的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P，且P点位于联心线O1O2上。显然，对于定传定比的平行轴啮合问题，其瞬时瞬心点的轨迹即为两根转子互相外切的两个节圆，其半径分别为R1t、R2t。据此描述则在已知的曲线的坐标系下可方便快捷的建立起转角位置参数和型线参数t之间的一一映射关系。
式2-9、式2-10中，Nx,Ny为已知曲线的法向量在x、y方向的分量。
同样，将坐标变换2-1或2-2与式2-9或式2-10联立即可求得共轭的型线方程。
三、螺杆型线基本组成齿曲线及其包络线
3.1 圆弧—圆弧包络线啮合副
圆弧—圆弧包络线贯穿了整个螺杆转子型线的发展过程，是应用最广泛、最常见的一种基本齿曲线。采用圆弧—圆弧包络线设计的转子具有齿面光滑，易于加工、存储和运输的优点，因而被大量应用于各种对称、不对称型线的设计中。
位于阳转子上、圆心在(x0，y0)处的圆弧可表示为：
其中：r——圆弧半径
——圆弧端点与原点连线与x轴正向夹角
将式3-1与坐标变换关系式2-2中，得其包络线方程为：
采用解析包络法，将上式分别对t和求偏导并代入式2-6的包络条件，解得包络条件表达式为：
因而阳转子上圆心在(x0,y0)处的一段圆弧其包络线方程可通过将式3-2与式3-3联立来表示：
对于销齿圆弧， 
将代入式3-3可得包络条件为：
=0，这表明销齿圆弧在起始位置啮合，且是整段曲线同时进入啮合，这是圆弧包络的一种特殊情况。
同理，对于位于阴转子上、圆心在(x0,y0) 处的一段圆弧及其包络线的方程可表示为：
3.2 径向直线-摆线啮合副
在型线发展的早期阶段，出于加工、存储方面的考虑，同时为保护位于齿顶部位、对机器性能起重要影响的摆线形成点，设计者们在阴转子节圆附近添加了一段径向直线，其典型代表如瑞典SRM公司开发的SRM-A型线。
对于阴转子上的一段径向直线，其方程见式3-7所示：
式3-7中表示直线与x轴正向的夹角，将其代入动坐标变换关系式2-1可得：
采用解析包络法，将式3-8分别对t和求偏导数并代入式2-5的包络条件，解得包络条件表达式为：
则阴转子上径向直线的包络线方程表示为：
仔细观察上式的特征发现，径向直线的包络线是一段摆线，即形成“直线—摆线”啮合副。
3.3 点—摆线啮合副
点摆线啮合副的提出促进了非对称型线的发展，采用点—摆线组合可将啮合线啮合顶点延伸至两转子孔交线的顶点，从而有效的降低甚至消除泄漏三角形的影响，提高nianxiangyuan
性能。
位于阴转子上一定点的方程为：
其中为该点与原点连线与x轴的夹角，类比径向直线的方程解法，直接可解出其包络线方程为：
方程式3-12自然满足了啮合条件式2-5，由三角形的三边关系可得：
其中表示包络线上一点与原点连线的线段长度，取值范围由相邻曲线的端点或几何关系确定，从而点的包络线方程可完整表示为：
观察式3-14的特征可知，点包络线方程表征的也是一段摆线，即形成了“点—摆线”啮合副；
采用同样的方法可得阳转子一固定点的方程及其包络线方程：
3.5 摆线-摆线啮合副
摆线又称为旋轮线，物理上是最速降问题的解，也是螺杆nianxiangyuan
转子型线的基本齿曲线之一，常见的组合方式包括“点—摆线”、“线—摆线”、“摆线—摆线”。
对于平行轴啮合问题，圆外一段外摆线方程见式3-17，它表示这样一种曲线：半径为r的圆在基圆上作纯滚动，将半径为r的圆称为滚圆，离圆心距离为b的圆上一个固定点在滚动过程中形成的曲线称为外摆线。几何关系见图4所示。
将式代入坐标变换式2-1可得阳转子上外摆线的啮合线方程为：
啮合线方程为：
由式3-18、式3-19的特征可见，外摆线的包络线为内摆线，是同一滚圆、同一点在节圆2的内圆周上滚出来的；摆线的啮合线为一圆心在滚圆中心，经过形成点K、半径为b的圆。
特别当A=a，即滚圆中心与阴转子中心重合时得：
即此时“摆线—摆线”啮合关系退化为“点—摆线”啮合；
当A-a=r=b时，式3-18可化简为：
它表示一段径向直线，即此时“摆线—摆线”啮合关系退化为“线—摆线”啮合；式3-20和式3-21表明“线—摆线”、“点—摆线”啮合是摆线啮合副的特殊形式。
3.6 椭圆-椭圆包络线啮合副
椭圆作为一种二次曲线，是近些年才应用于流线型等高效型线的设计当中，代表型线有GHH型线、复盛型线等。
在图1所示的坐标系下，阴转子上与x轴正向夹角为t0、圆心为(x0,y0)、长半轴短半轴为(a,b)一段椭圆方程可表示为：
将式代入坐标变换关系式得包络线方程：
由于椭圆包络线的方程形式复杂，采用解析包络法过于繁琐，此处采用齿廓法线法，其包络条件可表示为：
式3-24中（Nx2，Ny2）为椭圆弧在t处的法向量。将式3-23和式3-24联立即可求出椭圆包络线的方程。
四、GHH型线解析推导
GHH型线是一种性能优良的流线型型线，由德国GHH公司推出。见图5所示，GHH型线在齿顶采用点啮合摆线，尽量减小泄漏三角形面积，从而降低了泄漏损失，组成齿曲线及啮合线见表1所示。虽然其组成齿曲线已公开多年，但仍未见有公开资料对其构造进行分析。本文以GHH型线为例，阐述了转子型线的构造方法。
4.1 BD-HJ圆弧-圆弧曲线段
BD段为圆心在两转子节圆交点上的销齿圆弧，半径为r的销齿圆弧方程为：
一般取t1=0，即圆弧段至阳转子齿顶结束，销齿圆弧在=0时整段啮合，将式4-1代入式3-2得与BD段相啮合的曲线段HJ的方程为：
4.2 DE-J点—摆线曲线段
阴转子上曲线DE是由阳转子齿顶J点生成的摆线，J点方程为：
将方程4-3代入式3-16得DE段摆线方程为：
4.3 E-JK点—摆线曲线段
阴转子上曲线JK是由阴转子DE摆线的端点E点生成的摆线，E点方程为：
将方程4-5代入式3-14得JK段摆线方程为：
其中， 为O2E与阴转子x轴正向的夹角，
4.4 EF-KL圆弧-圆弧曲线段
EF段为圆心在阴转子节圆上、半径为r0的小圆弧：
其中为圆弧的夹心角，由于EF与曲线段KL啮合，其对应的啮合线为一端在阳转子节圆上、另一端在x轴上的一段圆弧51，由三角关系可确定的取值为：
将式4-7代入到式3-6求得包络线KL的方程：
4.5 AB-GH椭圆-椭圆包络线曲线段
AB段为位于阴转子上的一段椭圆，其中心坐标为(x0,y0)，长半轴和短半轴分别为(a,b)，四个参数均为未知数，因而求解此段型线的关键为确定椭圆的位置参数。
AB段椭圆的端点B同时也是销齿圆弧的端点，其坐标记为(xB,yB)，由连续性条件判断在点B处椭圆曲线AB与销齿圆弧BD有公切线和公法线，B点处的导数记为kB，则B点处切线与x轴的夹角t0为：
AB段椭圆的端点A与齿项圆相切，其坐标记为(xA,yA)，记A点处的导数为kA, A点与x轴正向的夹角为：
通过以上分析(xB,yB)，(xA,yA)，kA，kB均可由相邻曲线或几何关系求出，将这五个已知量代入方程3-22可得确定椭圆参数的五元非线性方程组：
解出五元非线性方程组即确定了以(x0，y0，a，b)定义的椭圆。将其代入3-23、3-24即可求解椭圆包络线方程。
4.6 GHH型线的具体算例
取GHH型线齿数比为z1:z2=5:6，中心距A=90mm，销齿圆弧半径r=25.8%*A =23.22mm，齿顶圆弧r0=1.5mm，销齿圆弧夹心角 0=0.7854；则可依次求得(xB，yB)=(32.6719,-16.4190)，(xA,yA)=(38.0533， -33.3374)，kB=-1,kA=1.1415,tA=0.7194, t0=-0.7854; 生成的型线如图5所示，图2表示阳转子对阴转子的包络过程，证明啮合过程无干涉现象。
GHH型线的推荐齿数比为5：6，GHH型线也能适应其它齿数比的设计，见图6所展示的4：6、4：5型线。
五、结论
采用解析包络法能使型线求解的数学逻辑清晰明了，但对于复杂组成齿曲线，解析包络法在求解时往往生成冗长繁杂的表达式，使得求解过程极易出错；齿廓法线法则具有更明解的物理意义，尤其是在解析包络法不便求解的场合，使用齿廓法线法可使得型线设计过程更直观简便。但齿廓法线法不适应于齿型参数偏导数为不存在的场合，如“点—摆线”曲线组的设计，因而在型线设计过程中，可根据需要灵活选择两种设计方法。
本文以GHH型线为例，详细介绍了型线设计的过程，即对两种型线设计方法进行了验证，又揭示了GHH型线的设计特点，为后续开发高效型线提供参考。
参考文献
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[M]. 北京：机械工业出版社, 1989.
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—理论、设计及应用[M].北京：机械工业出版社, 2000.
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8. Stosic N. On heat transfer in screw compressors[J]. International Journal of Heat & Fluid Flow, 2015, 51:285-297.
9. Mustafin T N, Yakupova R R, Burmistrova A V, et al. Analysis of Influence of Screw Compressor Construction Parameters and Working Condition on Rotor Temperature Fields ☆[J]. Procedia Engineering, 2016, 152:423-433.
10.N. Sto?ic, Lj. Milutinovi?, K. Hanjali?, et al. Investigation of the influence of oil injection upon the screw compressor working process ☆[J]. International Journal of Refrigeration, 1992, 15(4):206-220.
11.Wu Y R, Tran V T. Dynamic response prediction of a twin-screw compressor with gas-induced cyclic loads based on multi-body dynamics[J]. International Journal of Refrigeration, 2016, 65:111-128.
12.Wu X, Xing Z, He Z, et al. Effects of Lubricating Oil on the Performance of a Semi-hermetic Twin Screw Refrigeration Compressor[J]. Applied Thermal Engineering, 2016, 112:340-351.
13.李俊岭,韩志侃.螺杆式空压机吸气过程技术改造[J].化工机械,2016,43(01):125-128.
来源：本站原创
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二、转子型线设计方法
2.1 转子坐标系及坐标变换法则
如图1所示，阴阳转子的静坐标系X2OY2、X1OY1固结于机壳转子孔中心位置，称为机架坐标系；阴阳转子的动坐标系x2Oy2、x1Oy1固结于阴阳转子中心，并随转子一起绕转子轴线转动。定义阳转子顺时针为正向，阴转子逆时针为正向。
螺杆式nianxiangyuan 的啮合属于平行轴定传动比啮合，如图1，位于阳转子上的曲线1在位置与阴转子齿上的曲线2相啮合。通常，型线设计的任务是在曲线1（或曲线2）已知的情况下求取曲线2（或曲线1），这一过程即坐标变换过程。
在图1所示的坐系下，由阴转子动坐标(x2,y2)向阳转子动坐标(x1,y1)的坐标变换为：
由阳转子动坐标向阴转子动坐标的坐标变换关系表示为：
同理，动坐标与静坐标、静坐标与静坐标间的变换关系为：
2.2解析包络法
若已知型线的参数方程表示为，其中t为型线参数，当t取一定值则表示曲线上的一固定点，即指出了曲线上具体何点发生啮合；在运用式2-1或式2-2进行坐标变换时包含未知转角参数，的物理意义是指出了曲线在何位置发生啮合，也叫位置参数，因而由（t, ）两个参数便可具体指出已知曲线上何点何时在何位置发生啮合，型线啮合的问题关键也转化为如何建立起t和 之间的一一映射关系。
如图1所示，曲线1、2互相包络，根据包络原理，在公切点存在公切线和公法线，则在公切点处建立曲线关于的偏微分方程和关于t/的全微分方程。由于是公切点，两方程必然相等，从而建立起了t和的关系表达式，见式2-5和式2-6。具体推导在文献1中有详细介绍，对其过程本文不再赘述。
式2-5和式2-6可采用隐函数表示，称其为共轭曲线的包络补充条件：
将此隐函数表达式1与坐标变换式2-1或式2-2联立即可求出已知型线的包络线方程。
2.3齿廓法线法
齿廓啮合Wills定理是齿廓法线法的理论依据，其完整表述为：共轭齿廓在传动的任意瞬时，它们在接触点处的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P，且P点位于联心线O1O2上。显然，对于定传定比的平行轴啮合问题，其瞬时瞬心点的轨迹即为两根转子互相外切的两个节圆，其半径分别为R1t、R2t。据此描述则在已知的曲线的坐标系下可方便快捷的建立起转角位置参数和型线参数t之间的一一映射关系。
式2-9、式2-10中，Nx,Ny为已知曲线的法向量在x、y方向的分量。
同样，将坐标变换2-1或2-2与式2-9或式2-10联立即可求得共轭的型线方程。
三、螺杆型线基本组成齿曲线及其包络线
3.1 圆弧—圆弧包络线啮合副
圆弧—圆弧包络线贯穿了整个螺杆转子型线的发展过程，是应用最广泛、最常见的一种基本齿曲线。采用圆弧—圆弧包络线设计的转子具有齿面光滑，易于加工、存储和运输的优点，因而被大量应用于各种对称、不对称型线的设计中。
位于阳转子上、圆心在(x0，y0)处的圆弧可表示为：
其中：r——圆弧半径
——圆弧端点与原点连线与x轴正向夹角
将式3-1与坐标变换关系式2-2中，得其包络线方程为：
采用解析包络法，将上式分别对t和求偏导并代入式2-6的包络条件，解得包络条件表达式为：
因而阳转子上圆心在(x0,y0)处的一段圆弧其包络线方程可通过将式3-2与式3-3联立来表示：
对于销齿圆弧， 将代入式3-3可得包络条件为：=0，这表明销齿圆弧在起始位置啮合，且是整段曲线同时进入啮合，这是圆弧包络的一种特殊情况。
同理，对于位于阴转子上、圆心在(x0,y0) 处的一段圆弧及其包络线的方程可表示为：
3.2 径向直线-摆线啮合副
在型线发展的早期阶段，出于加工、存储方面的考虑，同时为保护位于齿顶部位、对机器性能起重要影响的摆线形成点，设计者们在阴转子节圆附近添加了一段径向直线，其典型代表如瑞典SRM公司开发的SRM-A型线。
对于阴转子上的一段径向直线，其方程见式3-7所示：
式3-7中表示直线与x轴正向的夹角，将其代入动坐标变换关系式2-1可得：
采用解析包络法，将式3-8分别对t和求偏导数并代入式2-5的包络条件，解得包络条件表达式为：
则阴转子上径向直线的包络线方程表示为：
仔细观察上式的特征发现，径向直线的包络线是一段摆线，即形成“直线—摆线”啮合副。
3.3 点—摆线啮合副
点摆线啮合副的提出促进了非对称型线的发展，采用点—摆线组合可将啮合线啮合顶点延伸至两转子孔交线的顶点，从而有效的降低甚至消除泄漏三角形的影响，提高nianxiangyuan
性能。
位于阴转子上一定点的方程为：
其中为该点与原点连线与x轴的夹角，类比径向直线的方程解法，直接可解出其包络线方程为：
方程式3-12自然满足了啮合条件式2-5，由三角形的三边关系可得：
其中表示包络线上一点与原点连线的线段长度，取值范围由相邻曲线的端点或几何关系确定，从而点的包络线方程可完整表示为：
观察式3-14的特征可知，点包络线方程表征的也是一段摆线，即形成了“点—摆线”啮合副；
采用同样的方法可得阳转子一固定点的方程及其包络线方程：
3.5 摆线-摆线啮合副
摆线又称为旋轮线，物理上是最速降问题的解，也是螺杆nianxiangyuan 转子型线的基本齿曲线之一，常见的组合方式包括“点—摆线”、“线—摆线”、“摆线—摆线”。
对于平行轴啮合问题，圆外一段外摆线方程见式3-17，它表示这样一种曲线：半径为r的圆在基圆上作纯滚动，将半径为r的圆称为滚圆，离圆心距离为b的圆上一个固定点在滚动过程中形成的曲线称为外摆线。几何关系见图4所示。
将式代入坐标变换式2-1可得阳转子上外摆线的啮合线方程为：
啮合线方程为：
由式3-18、式3-19的特征可见，外摆线的包络线为内摆线，是同一滚圆、同一点在节圆2的内圆周上滚出来的；摆线的啮合线为一圆心在滚圆中心，经过形成点K、半径为b的圆。
特别当A=a，即滚圆中心与阴转子中心重合时得：
即此时“摆线—摆线”啮合关系退化为“点—摆线”啮合；
当A-a=r=b时，式3-18可化简为：
它表示一段径向直线，即此时“摆线—摆线”啮合关系退化为“线—摆线”啮合；式3-20和式3-21表明“线—摆线”、“点—摆线”啮合是摆线啮合副的特殊形式。
3.6 椭圆-椭圆包络线啮合副
椭圆作为一种二次曲线，是近些年才应用于流线型等高效型线的设计当中，代表型线有GHH型线、复盛型线等。
在图1所示的坐标系下，阴转子上与x轴正向夹角为t0、圆心为(x0,y0)、长半轴短半轴为(a,b)一段椭圆方程可表示为：
将式代入坐标变换关系式得包络线方程：
由于椭圆包络线的方程形式复杂，采用解析包络法过于繁琐，此处采用齿廓法线法，其包络条件可表示为：
式3-24中（Nx2，Ny2）为椭圆弧在t处的法向量。将式3-23和式3-24联立即可求出椭圆包络线的方程。
四、GHH型线解析推导
GHH型线是一种性能优良的流线型型线，由德国GHH公司推出。见图5所示，GHH型线在齿顶采用点啮合摆线，尽量减小泄漏三角形面积，从而降低了泄漏损失，组成齿曲线及啮合线见表1所示。虽然其组成齿曲线已公开多年，但仍未见有公开资料对其构造进行分析。本文以GHH型线为例，阐述了转子型线的构造方法。
4.1 BD-HJ圆弧-圆弧曲线段
BD段为圆心在两转子节圆交点上的销齿圆弧，半径为r的销齿圆弧方程为：
一般取t1=0，即圆弧段至阳转子齿顶结束，销齿圆弧在=0时整段啮合，将式4-1代入式3-2得与BD段相啮合的曲线段HJ的方程为：
4.2 DE-J点—摆线曲线段
阴转子上曲线DE是由阳转子齿顶J点生成的摆线，J点方程为：
将方程4-3代入式3-16得DE段摆线方程为：
4.3 E-JK点—摆线曲线段
阴转子上曲线JK是由阴转子DE摆线的端点E点生成的摆线，E点方程为：
将方程4-5代入式3-14得JK段摆线方程为：
其中， 为O2E与阴转子x轴正向的夹角，
4.4 EF-KL圆弧-圆弧曲线段
EF段为圆心在阴转子节圆上、半径为r0的小圆弧：
其中为圆弧的夹心角，由于EF与曲线段KL啮合，其对应的啮合线为一端在阳转子节圆上、另一端在x轴上的一段圆弧51，由三角关系可确定的取值为：
将式4-7代入到式3-6求得包络线KL的方程：
4.5 AB-GH椭圆-椭圆包络线曲线段
AB段为位于阴转子上的一段椭圆，其中心坐标为(x0,y0)，长半轴和短半轴分别为(a,b)，四个参数均为未知数，因而求解此段型线的关键为确定椭圆的位置参数。
AB段椭圆的端点B同时也是销齿圆弧的端点，其坐标记为(xB,yB)，由连续性条件判断在点B处椭圆曲线AB与销齿圆弧BD有公切线和公法线，B点处的导数记为kB，则B点处切线与x轴的夹角t0为：
AB段椭圆的端点A与齿项圆相切，其坐标记为(xA,yA)，记A点处的导数为kA, A点与x轴正向的夹角为：
通过以上分析(xB,yB)，(xA,yA)，kA，kB均可由相邻曲线或几何关系求出，将这五个已知量代入方程3-22可得确定椭圆参数的五元非线性方程组：
解出五元非线性方程组即确定了以(x0，y0，a，b)定义的椭圆。将其代入3-23、3-24即可求解椭圆包络线方程。
4.6 GHH型线的具体算例
取GHH型线齿数比为z1:z2=5:6，中心距A=90mm，销齿圆弧半径r=25.8%*A =23.22mm，齿顶圆弧r0=1.5mm，销齿圆弧夹心角 0=0.7854；则可依次求得(xB，yB)=(32.6719,-16.4190)，(xA,yA)=(38.0533， -33.3374)，kB=-1,kA=1.1415,tA=0.7194, t0=-0.7854; 生成的型线如图5所示，图2表示阳转子对阴转子的包络过程，证明啮合过程无干涉现象。
GHH型线的推荐齿数比为5：6，GHH型线也能适应其它齿数比的设计，见图6所展示的4：6、4：5型线。
五、结论
采用解析包络法能使型线求解的数学逻辑清晰明了，但对于复杂组成齿曲线，解析包络法在求解时往往生成冗长繁杂的表达式，使得求解过程极易出错；齿廓法线法则具有更明解的物理意义，尤其是在解析包络法不便求解的场合，使用齿廓法线法可使得型线设计过程更直观简便。但齿廓法线法不适应于齿型参数偏导数为不存在的场合，如“点—摆线”曲线组的设计，因而在型线设计过程中，可根据需要灵活选择两种设计方法。
本文以GHH型线为例，详细介绍了型线设计的过程，即对两种型线设计方法进行了验证，又揭示了GHH型线的设计特点，为后续开发高效型线提供参考。
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